МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИНСТИТУТ Уральского научного центра АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в г. Свердловске. Основан в 1961 как Свердловское отделение Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, с 1971 - в составе Уральского науч. центра АН СССР. Осн. направления исследований: развитие математич. теории процессов управления; теоретич. исследования в области алгебры, дифференц. ур-ний и теории функций; разработка и решение задач на ЭВМ; развитие методов нелинейной механики; разработка математич. методов механики сплошной среды. Имеется аспирантура. Н. Н. Красовский.

МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ Сибирского отделения АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в г. Новосибирске. Основан в 1957. Задачи ин-та - разработка важных проблем математики и методов её приложений. Осн. направления исследований: алгебра и математич. логика, геометрия и топология, теория вероятностей, теория дифференц. ур-ний, теория функций и функциональный анализ, теоретич. физика, математич. экономика и теоретич. кибернетика. Имеется аспирантура. Издаются сб. трудов: "Алгебра и логика" (с 1962), "Оптимальное планирование" (с 1964), "Дискретный анализ" (с 1963). A.M. Ширшов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, весьма общий способ математич. доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на т. н. принципе М. и., являющемся одной из основных математич. аксиом. Пусть, напр., требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа п формулу:

1+3 + 5 + ...+(2и-1) = и². (1) При п = 1 эта формула даёт 1 = 1². Чтобы доказать правильность формулы при любом п, допускают, что её уже удалось доказать для нек-рого определённого числа N, т. е. предполагают, что

1+3 + 5+....+(2N-1) = №. (2) Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, т. е. для п = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: (2N +1); тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2N + 1) и, следовательно,

1+3 + 5 + ....+(2ЛГ-1) + (2N+1) = = N²+(2N+1) = (N +1)². Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить п на N + 1. Итак, из справедливости формулы (1) при п - N вытекает (каково бы ни было N) её правильность и при п = N + 1. Но при п = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при п = 2 = = 1 + 1, 3 = 2+1, 4 = 3+1, 5 = 4 + 1 и т. д. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе п. Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на нек-рую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.

Принцип М. и. Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того, что к.-л. натуральное число и обладает свойством А, вытекает, что и число п + 1 обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А.

В разобранном выше примере свойство А числа п выражается так: "для числа п справедливо равенство (1)". Если принцип М. и. принят в качестве аксиомы, то каждое отд. доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [напр., формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, т. к. одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.

Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математич. теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё т. н. индуктивные определения. Таково, напр., следующее определение членов и_п геометрич. прогрессии с первым членом а и знаменателем q: 1) u₁ = a, 2) u_n+1=u_nq.

Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии и_п для всех натуральных чисел п. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение и_пчерез п : и_п = aq^n-1.

Принцип М. и. можно заменить равносильными ему предложениями, напр, таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом т содержит и т+1, то М = N.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ, картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций, преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к математич. обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия). М. к. тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографич. и др. дисциплинами. На первых этапах (6 в. до н. э. - 17 в. н. э.) развития М. к. изобретались, исследовались и использовались отд. картографич. проекции, затем (18 в.- нач. 20 в.) изучались также отд. классы проекций и др. совокупности их.

С сер. 20 в. успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы совр. М. к. механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.

В М. к. различают прямую и обратную задачи. Прямая задача М. к. - исследование свойств картографич. проекций, заданных уравнениями вида x = f₁(Ф,Л), у = f₂(ф,Л), (1) где ф и Л - широта и долгота точки на земном эллипсоиде. Эта задача решается формулами теории искажений. Обратная задачам, к. имеет целью восстановление уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям искажений. В процессе историч. развития М. к. использовались различные методы построения проекций: геометрич., аналитич., графоаналитич. и др., применимые, однако, к получению отд. проекций или довольно узких совокупностей их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной задачи М. к., следует из системы Эйлера - Урмаева

где т и п - масштабы по меридианам и параллелям, е - угол между их изображениями, 7 - сближение меридианов. Это - система двух квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка (напр., n_ф=dn/dф и т. п.). Она недоопределённая: уравнений - два, функций - четыре. Различные способы доопределения системы (2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования проекций с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы теории искажений и нек-рые их модификации относят к основным уравнениям М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное исчисление и др.

Система (2) приводит к генетической классификации кар-тографич. проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие класса проекций как такой совокупности их, к-рая [после доопределения системы (2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; напр., класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и др. Системы классов проекций могут быть эллиптич., гиперболич. и др. типов, в соответствии с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся в априорном предсказании нек-рых свойств новых проекций. Таким образом, М. к.- это своеобразный "арсенал" картографич. науки и картогра-фич. производства, в спец. "рубриках" к-рого находятся определённые классы и др. совокупности картографич. проекций. Для конкретного производственного задания оттуда может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).

Одной из центральных проблем М. к. является задача построения наивыгоднейших картографич. проекций, т. е. проекций, в к-рых искажения в к.-л. смысле сведены к минимуму. Она полностью ещё не решена даже для хорошо известных классов проекций, хотя частными случаями этой задачи занимались многие известные учёные (Л. Эйлер, К. Гаусс, П. Л. Чебышев и др.). Проблема ставится двояко: для заданной области изыскивают проекции с минимумом искажений либо из всего мыслимого множества проекций (идеальные проекции), либо из определённого класса (наилучшие проекции класса). В обоих случаях задача с математич. точки зрения обращается в проблему приближения функций двух переменных. Но в последней также существуют различные постановки: обращаясь, напр., к теории наилучших приближений, говорят о наивыгоднейших проекциях минимаксного типа, а пользуясь теорией квадратических приближений, исследуют наивыгоднейшие проекции вариационного типа. Общая проблема построения наивыгоднейших картографич. проекций приводит к ряду новых экстремальных задач на условный минимакс и др. До конца исследован лишь случай наилучших конформных проекций. Согласно теореме Чебышева - Граве, наилучшей конформной проекцией (чебышевской) для данной области является та, крайняя изокола в к-рой совпадает с контуром изображаемой территории. В чебышевских проекциях искажения площадей наименее уклоняются от нуля. Как следствие, в них наименее уклоняются от нуля также модули логарифмов масштабов длин; отношение наибольшего масштаба к наименьшему минимально; минимальна также наибольшая кривизна изображений геодезич. линий; наконец, среднее квадратическое значение логарифмов масштаба длин также минимально. Такое сочетание различных положительных свойств у чебышевских проекций характерно для класса конформных проекций как наиболее простого (но и важного для практики) среди всех др. классов. Примером чебышевской проекции является стереографич. проекция, к-рая при изображении на плоскости сферического сегмента и при специальном выборе произвольной постоянной удовлетворяет условиям теоремы. Методика построения чебышевских проекций детально разработана и для произвольных территорий. Теорема Чебышева - Граве справедлива для ряда нек-рых др. классов проекций, неконформных, но эллиптич. типа.

Лит.: Соловьёв М. Д., Математическая картография, М., 1969; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968; его же, О современных задачах математической картографии, "Тр. Новосибирского ин-та инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии", 1967, т. 20; К а в р ай с кий В. В., Современные задачи математической картографии. Тезисы доклада на шестой научной сессии ЛГУ, Л., 1949; Гинзбург Г. А., О задачах математической картографии в СССР в области мелкомасштабных карт, "Геодезия и картография", 1958, N° 12; Павлов А. А., Математическая картография, в сб.: Итоги науки и техники. Картография, т. 5, М., 1972, с. 53-66. Г.А.Мещеряков.
 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА, математическая дисциплина, разрабатывающая формальный аппарат для описания строения естественных и нек-рых искусственных языков. Возникла в 50-х гг. 20 в. в связи с назревшей в языкознании потребностью уточнения его осн. понятий. В М. л. используются по преимуществу идеи и методы алгебры, .алгоритмов теории и автоматов теории. Не являясь частью лингвистики, М. л. развивается в тесном взаимодействии с ней. М. л. называют иногда лингвистич. исследования, в к-рых применяется к.-л. математич. аппарат.

Математич. описание языка основано на восходящем к Ф. де Соссюру представлении о языке как механизме, функционирование к-рого проявляется в речевой деятельности его носителей; её результатом являются «правильные тексты» - последовательности речевых единиц, подчиняющиеся определённым закономерностям, мн. из к-рых допускают математич. описание. Изучение способов математич. описания правильных текстов (в первую очередь предложений) составляет содержание одного из разделов М. л. - теории способов описания синтаксической структу-р ы. Для описания строения (синтак-сич. структуры) предложения можно либо выделить в нём «составляющие» -группы слов, функционирующие как цельные синтаксические единицы, либо указать для каждого слова те слова, к-рые от него непосредственно зависят (если такие есть). Так, в предложении «Лошади кушают овёс» при описании по 1-му способу составляющими будут: всё предложение /, каждое отд. слово и словосочетание С = «кушают овёс» (рис. 1; стрелки означают «непосредственное вложение»); описание по 2-му способу даёт схему, показанную на рис. 2

. Математические объекты, возникающие при таком описании структуры предложения, наз. деревом составляющих (1-й способ) и деревом синтаксического подчинения (2-й способ).

Другой раздел М. л., занимающий в ней центр, место,- теория формальных грамматик, возникшая гл. обр. благодаря работам Н. Хамского. Она изучает способы описания закономерностей, к-рые характеризуют уже не отд. текст, а всю совокупность правильных текстов того или иного языка. Эти закономерности описываются путём построения «формальной грамматики» -абстрактного «механизма», позволяющего с помощью единообразной процедуры получать правильные тексты данного языка вместе с описаниями их структуры. Наиболее широко используемый тип формальной грамматики — т. н. порождающая грамматика, или грамматика Хомского,- упорядоченная система Г = <V,W,I,R>, где: V и W — непересекающиеся конечные множества; I — элемент W; R — конеч-

ное множество правил вида y -> ф, где y и ф - цепочки (конечные последовательности) элементов V и W. Если y -> ф -правило грамматики Г и w₁, w₂,- цепочки из элементов V и W, то говорят, что цепочка w₁ ф w₂ непосредственно выводима в Г из w₁ y w₂. Если E₀, E₁,...,E_n - цепочки и для каждого i = 1, ..., п цепочка E₁ непосредственно выводима из E_i-1, то говорят, что E_n выводима из E₀ в Г. Множество цепочек из элементов V, выводимых в Г из 1, наз. языком, порождаемым грамматикой Г. Если все правила грамматики Г имеют вид А -> ф, где А — элемент W, Г называется бесконтекстной, или контекстно-свободной. В лингвистич. интерпретации элементы V чаще всего представляют собой слова, элементы W — символы грамматич. категорий, I — символ категории «предложение». В бесконтекстной грамматике вывод предложения даёт для него дерево составляющих, в к-ром каждая составляющая состоит из слов, «происходящих» от одного элемента W, так что для каждой составляющей указывается её грамматич. категория. Так, если грамматика имеет в числе прочих правила I ->S_x, у, им V_y,

V_y -> V^t_ySx, у' вин, S _муж, ед, вин -> овёс, S_жен, мн, им-> лошади, V^t_мн -> кушают, где V_y означает категорию «группа глагола в числе у», V^t_y - «переходный глагол в числе у», S_{x,y,z -} "существительное рода х в числе у и падеже Z" , то приведённое выше предложение имеет вывод, показанный на рис. 3, где стрелки идут из левых частей применяемых правил к элементам соответствующих правых частей.

Формальные грамматики используются для описания не только естественных, но и искусственных языков, в особенности языков программирования.

М. л. изучает также аналитические модели языка, в к-рых на основе тех или иных данных о речи, считающихся известными (напр., множества правильных предложений), производятся формальные построения, дающие нек-рые сведения о структуре языка. Приложение методов М. л. к конкретным языкам относится к области лингвистики (см. Языкознание).

Лит.: Хомский Н., Синтаксические структуры, в сб.: Новое в лингвистике, в. 2, М., 1962; Гладкий А. В.. Мельчук И. А., Элементы математической лингвистики, М., 1969; Маркус С., Теоретико-множественные модели языков, пер. с англ., М., 1970; Гладкий А, В., Формальные грамматики и языки, М., 1973. А. В. Гладкий.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, логи ка, развиваемая математич. методом. Характерным для М. л. является использование формальных языков с точным синтаксисом и чёткой семантикой, однозначно определяющими понимание формул. Потребность в такой логике выявилась в нач. 20 в. в связи с интенсивной разработкой оснований математики, возникновением множеств теории, где были открыты антиномии (см. Парадокс), уточнением понятия алгоритма и др. глубокими и принципиальными вопросами математической науки. Однако значение М. л. для науки в целом не исчерпывается её математич. приложениями, поскольку хорошо рассуждать и доказывать приходится во всех науках. Вот почему М. л. с полным правом может быть охарактеризована как логика на совр. этапе. См. ст. Логика (раздел Предмет и метод современной логики) и лит. при этой статье. А.А.Марков.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, приближённое описание какого-либо класса явлений внеш. мира, выраженное с помощью математич. символики. М. м.- мощный метод познания внеш. мира, а также прогнозирования и управления. Анализ М. м. позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математич. моделирования, т. е. изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математич. терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап - исследование математич. задач, к к-рым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математич. аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислит, техника - мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математич. задач. Часто математич. задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (напр., основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математич. задачи как самостоят, объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, т. е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений стеоретич. следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы,- то определение уклонений теоретич. следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели нек-рые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в к-рых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, наз. обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении М. м., является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Т. о., первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями - "аксиомами" - гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 в. н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.

Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математич.) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).

Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (нач. 17 в.), к-рый сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематич. описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона, предложившего во 2-й пол. 17 в. динамич. модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамич. модель согласуется с кинематич. моделью, предложенной Кеплером, т. к. из динамич. системы двух тел "Солнце - планета" следуют законы Кеплера.

К 40-м гг. 19 в. выводы динамич. модели, объектами к-рой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверъе в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетич. планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретич. и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

Метод математич. моделирования, сводящий исследование явлений внеш. мира к математич. задачам, занимает ведущее место среди др. методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технич. средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления. А. Н. Тихонов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, раздел математики, посвящённый математич. методам систематизации, обработки и использования статистических данных для науч. и практич. выводов. При этом статистич. данными наз. сведения о числе объектов в к.-л. более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками (таковы, например, данные табл. 1а и 2а).

Предмет и метод математической статистики. Статистич. описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отд. объекты,- с другой. По сравнению с первым способом статистич. данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (напр., учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворит. оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистич. данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Напр., данные грану ломет-рич. анализа породы (т. е. данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнит, информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в нек-рой мере объяснить свойства породы, условия её образования и пр.

Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистич. данных о тех или иных совокупностях объектов, наз. статистическим. Статистич. метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистич. метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, напр., социально-экономич. статистику, физич. статистику (см. Статистическая физика), звёздную статистику и т. п. в одну науку.

Общие черты статистич. метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количеств, признаков, применению выборочного метода (в случаях,когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистич. методов исследования, безразличная к специфич. природе изучаемых объектов, и составляет предмет М. с.

Связь математической статистики с тeoрией вероятностей. Связь М. с. с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Вероятностей теория изучает не любые явления, а явления случайные и именно -"вероятностно случайные", т. е. такие, для к-рых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее теория вероятностей играет определённую роль и при статистич. изучении массовых явлений любой природы, к-рые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок измерений (см. Ошибок теория). В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приёмы их исследования.

Табл. 1 а. - Распределение диаметра детали в мм, обнаруженное при статистическом исследовании массовой _ продукции (объяснение обозначений х, S, s см. на стр. 482).
 

Диаметр	Основная выборка	1-я выборка	2-я выборка	3-я выборка
13,05-13,09	_	_	1	1
13,10-13,14	2	-
13,15-13,19	1	-	1	1
13,20-13,24	8	-		-
13,25-13,29	17	1	2	1
13,30-13,34	27	1	1	2
13,35-13,39	30	2	3	1
13,40-13,44	37	2	1	1
13,45-13,49	27	1	-	-
13,50-13,54	25	2	1	-
13,55-13,59	17	--	--
13,60-13,64	7	1	--	2
13,65-13,69	2	-	-	1
Всего	200	10	10	10
X	13,416	13,430	13,315	13,385
S2	2,3910	0,0990	0,1472	0,3602
s	0,110	0,105	0,128	0,200

Табл. 16. - Распределение диаметра детали основной выборки (из табл. 1а) при более  крупных интервалах группировки
 

Диаметр	Число деталей
13,00-13,24	11
13,25-13,49	138
13,50-13,74	51
Всего	200

Более важную роль играет теория вероятностей при статистич. исследовании вероятностных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы М. с., как теория статистич. проверки вероятностных гипотез, теория статистич. оценки распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д. Область же применения этих более глубоких статистич. методов значительно уже, т. к. здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определённым вероятностным закономерностям. Напр., статистич. изучение режима турбулентных водных потоков или флюктуации в радиоприёмных устройствах производится на основе теории стационарных случайных процессов. Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам ввиду того, что входящее в определение стационарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течение длительного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо.

Вероятностные закономерности получают статистич. выражение (вероятности осуществляются приближённо в виде частот, а математические ожидания - в виде средних) в силу больших чисел закона.

Простейшие приёмы статистического описания. Изучаемая совокупность из п объектов может по к.-л. качественному признаку А разбиваться на классы A₁, А₂, ..., А_r. Соответствующее этому разбиению статистическое распределение задаётся при помощи указания численностей (частот) n₁, п_г, ..., n_r .

Напр., в первом столбце табл. 1а даны результаты измерения 200 диаметров деталей, группированные по интервалам дл. 0,05 мм. Основная выборка соответствует нормальному ходу технологич. процесса. 1-я, 2-я и 3-я выборки сделаны через нек-рые промежутки времени для проверки устойчивости этого нормального хода производства. В табл. 16 результаты измерения деталей основной выборки даны при группировке по интервалам дл. 0,25 мм.

Обычно группировка по 10-20 интервалам, в каждый из к-рых попадает не более 15-20% значений xt, оказывается достаточной для довольно полного выявления всех существенных свойств распределения и надёжного вычисления по групповым численностям основных характеристик распределения (см. о них ниже). Составленная по таким группированным данным гистограмма наглядно изображает распределение. Гистограмма, составленная на основе группировки с маленькими интервалами, обычно многовершинная и не отражает наглядно существенных свойств распределения.

В качестве примера на рис. 1 дана гистограмма распределения 200 диаметров, соответствующая данным первого столбца табл. 1а, а на рис. 3 - гистограмма того же распределения (соответствующая таблица не приводится ввиду её громоздкости) при интервале 0,01 мм. С другой стороны, группировка по слишком крупным интервалам может привести к потере ясного представления о характере распределения и к грубым ошибкам при вычислении среднего и других характеристик распределения (см. табл. 16 и соответствующую гистограмму на рис. 2).

Рис. 1. Гистограмма распределения диа-i метров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,05 мм.

Рис. 2. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,25 мм.

Рис. 3. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,01 мм.

В пределах М. с. вопрос об интервалах группировки может быть рассмотрен только с формальной стороны: полноты математич. описания распределения, точности вычисления средних по сгруппированным данным и т. д. О группировке, имеющей целью выделить качественно различные группы в изучаемой совокупности, см. Статистические группировки. При изучении совместного распределения двух признаков пользуются таблицами с двумя входами. Примером совместного распределения двух качеств, признаков может служить таблица 2а. В общем случае, когда по признаку А материал разбит на классы A₁, А₂, ..., А_r, а по признаку В - на классы B₁, B₂, -.., B_sтаблица состоит из численностей n_ijобъектов, принадлежащих одновременно классам A_i и B_j. Суммируя их по формулам

получают численности самих классов A_iи B_j; очевидно, что

где п - численность всей изучаемой совокупности. В зависимости от целей дальнейшего исследования вычисляют те или иные из относительных частот

Напр., при изучении влияния вдыхания сыворотки на заболевание гриппом по табл. 2а естественно вычислить относительные частоты, данные в табл. 26.
 
 

Табл. 2 а. - Распределение заболевших и не заболевших гриппом среди работников Центрального универмага в Москве, вдыхавших и не вдыхавших противогриппозную сыворотку (1939)
 

	Не заболевшие	Заболевшие	Всего
Не вдыхавшие	1675	150	1825
Вдыхавшие	497	4	501
Всего	2172	154	2326

Табл. 2б. - Относительные частоты (соответствующие данным табл. 2а)
 

	Не заболевшие	Заболевшие	Всего
Не вдыхавшие	0,918	0,082	1,000
Вдыхавшие	0,992	0,008	1,000

Пример таблицы для совместного распределения двух количеств, признаков см. в статье Корреляция. Табл. 1а служит примером смешанного случая: материал группируется по одному качеств, признаку (принадлежность к основной выборке, произведённой для определения среднего уровня производств, процесса, и к трём выборкам, произведённым в различные моменты времени для проверки сохранения этого нормального среднего уровня) и по одному количеств, признаку (диаметр деталей).

Простейшими сводными характеристиками распределения одного количеств, признака являются среднее

и среднее квадратичное отклонение

При вычислении х, S² и D по группированным данным пользуются формулами

где т - число интервалов группировки, а_к - их середины (в случае табл. 1а - 13,07; 13,12; 13,17; 13,22 и т. д.). Если материал сгруппирован по слишком крупным интервалам, то такой подсчёт даёт слишком грубые результаты. Иногда в таких случаях полезно прибегать к специальным поправкам на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь при условии выполнения определённых вероятностных предположений.

О совместных распределениях двух и большего числа признаков см. Корреляция, Корреляционный анализ, Регрессия, Регрессионный анализ.

Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез. Выше были изложены лишь нек-рые избранные простейшие приёмы статистич. описания, представляющего собой довольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и техникой вычислений. Приёмы статистич. описания интересны, однако не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистич. материала выводов о закономерностях, к-рым подчиняются изучаемые явления, и о причинах, приводящих в каждом отд. случае к тем или иным наблюдённым статистич. распределениям.

Напр., данные, приведённые в табл. 2а, естественно связать с такой теоретич. схемой. Заболевание гриппом каждого отд. работника универмага следует считать случайным событием, т. к. общие условия работы и жизни обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь нек-рую вероятность заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (p₁) и для не вдыхавших (р₀), судя по статистич. данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что p₁существенно меньше р_о. Перед М. с. возникает задача: по наблюдённым частотам h₁ = 4/501 ~ 0,008 и h_o = 150/1825 ~ 0,082 оценить вероятности р₁и р₀ и проверить, достаточен ли статистич. материал для того, чтобы считать установленным, что p₁ < р_o(т. е. что вдыхание сыворотки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ на поставленный вопрос в случае данных табл. 2а достаточно убедителен и без тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к разработанным М. с. специальным критериям.

Данные первого столбца табл. 1а собраны с целью установления точности изготовления деталей, расчётный диаметр к-рых равен 13,40 мм, при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, к-рое может быть в этом случае обосновано нек-рыми теоретич. соображениями, является предположение, что диаметры отд. деталей можно рассматривать как случайные величины X, подчинённые нормальному распределению вероятностей

Если это допущение верно, то параметры а и б²-среднее и дисперсию вероятностного распределения - можно с достаточной точностью оценить по соответствующим характеристикам статистического распределения (т. к. число наблюдений п = 200 достаточно велико). В качестве оценки для теоретич. дисперсии б² предпочитают не статистич. дисперсию D² = S²/n, а несмещённую оценку

Для теоретич. среднего квадратичного отклонения не существует общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения несмещённой оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещённой) для а чаще всего употребляют s. Точность оценок х и s для а и а указывается соответствующими дисперсиями, к-рые в случае нормального распределения (1) имеют вид

где знак ~ обозначает приближённое равенство при больших п. Таким образом, уславливаясь прибавлять к оценкам со знаком ± их среднее квадратичное отклонение, имеем при больших п в предположении нормального распределения (1):

Объём выборки п = 200 достаточен для законности пользования этими формулами теории больших выборок.

Дальнейшие сведения об оценке параметров теоретич. распределений вероятностей см. в статьях Статистические оценки, Доверительные границы. О способах, при помощи к-рых по данным первого столбца табл. 1а можно было бы проверить исходные гипотезы нормальности распределения и независимости наблюдений, см. в статьях Распределения, Непараметрические методы, Статистическая проверка гипотез.

При рассмотрении данных следующих столбцов табл. 1а, каждый из к-рых составлен на основе 10 измерений, употребление формул теории больших выборок, может служить только для первой ориентировки. В качестве приближённых оценок параметров а и 0 по-прежнему употребляются величины х и s, но для оценки точности и надёжности таких оценок необходимо применять теорию малых выборок. При сравнении по правилам М. с. выписанных в последних строках табл. 1а значений х и 5 для трёх выборок с нормальными значениями а и а, оценёнными по первому столбцу таблицы, можно сделать следующие выводы: первая выборка не даёт оснований предполагать существенного изменения хода производственного процесса, вторая выборка даёт основание к заключению об уменьшении среднего диаметра а, третья выборка - к заключению об увеличении дисперсии.

Все основанные на теории вероятностей правила статистич. оценки параметров и проверки гипотез действуют лишь с определённым значимости уровнем со < 1, т. е. могут приводить к ошибочным результатам с вероятностью а = 1 - со. Напр., если в предположении нормального распределения и известной теоретичдисперсии б² производить оценку а по х по правилу

то вероятность ошибки будет равна а, связанному с k соотношением (см. табл. 3);

Вопрос о рациональном выборе уровня значимости в данных конкретных условиях (напр., при разработке правил статистич. контроля массовой продукции) является весьма существенным. При этом желанию применять правила лишь с высоким (близким к единице) уровнем значимости противостоит то обстоятельство, что при ограниченном числе наблюдений такие правила позволяют сделать лишь очень бедные выводы (не дают возможности установить неравенство вероятностей даже при заметном неравенстве частот и т. д.).

Табл. 3. - Зависимость аи w = 1-а о т k.
 

k	1,96	2,58	3,00	3,29
а	0,050	0,010	0,003	0,001
со	0,950	0,990	0,997	0,999

Выборочный метод. В предыдущем разделе результаты наблюдений, используемых для оценки распределения вероятностей или его параметров, подразумевались (хотя это и не оговаривалось) независимыми (см. Вероятностей теория и особенно Независимость). Хорошо изученным примером использования зависимых наблюдений может служить оценка статистич. распределения или его параметров в "генеральной совокупности" из N объектов по произведённой из неё "выборке", содержащей п < N объектов.

Терминологическое замечание. Часто совокупность п наблюдений, сделанных для оценки распределения вероятностей, также наз. выборкой. Этим объясняется, напр., происхождение употреблённого выше термина "теория малых выборок". Эта терминология связана с тем, что часто распределение вероятностей представляют себе в виде статистич. распределения в воображаемой бесконечной "генеральной совокупности" и условно считают, что наблюдаемые п объектов "выбираются" из этой совокупности. Эти представления не имеют отчётливого содержания. В собственном смысле слова выборочный метод всегда предполагает исходную конечную генеральную совокупность.

Примером применения выборочного метода может служить следующий. Пусть в партии из N изделий имеется L дефектных. Из партии отбирается случайным образом п < N изделий (напр., п = 100 при N = 10 000). Вероятность того, что число lдефектных изделий в выборке будет равно т, равна Р{/ = т} =

Таким образом, l и соответствующая относительная частота h = l/п оказываются случайными величинами, распределение к-рых зависит от параметра L или, что то же самое, от параметра Н = L/N. Задача оценки относительной частоты Н по выборочной относительной частоте h очень похожа на задачу оценки вероятности р по относительной частоте h при п независимых испытаниях. При больших п с вероятностью, близкой к единице, в задаче об оценке вероятности имеет место приближённое равенство р ~ h, а в задаче об оценке относительной частоты - приближённое равенство H~h. Однако в задаче об оценке Н формулы сложнее, а отклонения и от Н в среднем несколько меньше, чем отклонения h от р в задаче об оценке вероятности (при том же п). Таким образом, оценка доли Н дефектных изделий в партии по доле h дефектных изделий в выборке при данном объёме выборки п производится всегда (при любом N) несколько точнее, чем оценка вероятности р по относительной частоте h при независимых испытаниях. Когда N/n -> стремится к бесконечности, формулы задачи о выборке переходят асимптотически в формулы задачи об оценке вероятности р. См. также Выборочный метод.

Дальнейшие задачи математической статистики. Упоминавшиеся выше способы оценки параметров и проверки гипотез основаны на предположении, что число наблюдений, необходимых для достижения заданной точности выводов, определяют заранее (до проведения испытаний). Однако часто априорное определение числа наблюдений нецелесообразно, т. к., не фиксируя число опытов заранее, а определяя его в ходе эксперимента, можно уменьшить его математич. ожидание. Сначала это обстоятельство было подмечено на примере выбора одной из двух гипотез по последовательности независимых испытаний. Соответствующая процедура (впервые предложенная в связи с задачами приёмочного статистического контроля) состоит в следующем: на каждом шаге по результатам уже проведённых наблюдений решают а) провести ли следующее испытание, или о) прекратить испытания и принять первую гипотезу, или в) прекратить испытания и принять вторую гипотезу. При надлежащем подборе количеств, характеристик подобной процедуры можно добиться (при той же точности выводов) сокращения числа наблюдений в среднем почти вдвое по сравнению с процедурой выборки фиксированного объёма (см. Последовательный анализ). Развитие методов последовательного анализа привело, с одной стороны, к изучению управляемых случайных процессов, с другой- к появлению общей теории статистических решений. Эта теория исходит из того, что результаты последовательно проводимых наблюдений служат основой принятия нек-рых решений (промежуточных - продолжать испытания или нет, и окончательных - в случае прекращения испытаний). В задачах оценки параметров окончательные решения суть числа (значение оценок), в задачах проверки гипотез - принимаемые гипотезы. Цель теории - указать правила принятия решений, минимизирующих средний риск или убыток (риск зависит и от вероятностных распределений результатов наблюдений, и от принимаемого окончательного решения, и от расходов на проведение испытаний и т. п.).

Вопросы целесообразного распределения усилий при проведении статистического анализа явлений рассматриваются в теории планирования эксперимента, ставшей важной частью совр. М. с.

Наряду с развитием и уточнением общих понятий М. с. развиваются и её отд. разделы, такие, как дисперсионный анализ, статистический анализ случайных процессов, статистический анализ многомерный Появились новые оценки в регрессионном анализе (см. также Стохастическая аппроксимация). Большую роль в задачах М. с. играет т. н. байесовский подход (см. Статистические решения).

Историческая справка. Первые начала М. с. можно найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей - Я. Бернулли (кон. 17 - нач. 18 вв.), П. Лапласа (2-я пол. 18 - нач. 19 вв.) и С. Пуассона (1-я пол. 19 в.). В России методы М. с. в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития М. с. имели работы русской классич. школы теории вероятностей 2-й пол. 19 - нач. 20 вв. (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистич. оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс (1-я пол. 19 в.) и А. А. Марков (кон. 19 - нач. 20 вв.)]. Работы А. Кетле (19 в., Бельгия), Ф. Гальтона (19 в., Великобритания) и К. Пирсона (кон. 19 - нач. 20 вв., Великобритания) имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. К. Пирсоном была широко развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов М. с. В создании теории малых выборок, общей теории статистич. оценок и проверки гипотез (освобождённой от предположений о наличии априорных распределений), последовательного анализа весьма значительна роль представителей англо-американской школы [Стью-дент (псевд. У. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон - Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд - США], деятельность к-рых началась в 20-х гг. 20 в. В СССР значительные результаты в области М. с. получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, к-рому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов М. с., Ю. В. Линником, обогатившим аналитический аппарат М. с. новыми методами. На основе М. с. особенно интенсивно разрабатываются статистич. методы исследования и контроля массового производства, статистич. методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и др.

Существует неск. журналов, публикующих работы по М. с., в том числе ч Annals of Statistics" (до 1973 "Annals of Mathematical Statistics"), "International Statistical Institute Review", "Biometrika", "Journal of the Royal Statistical Society". Имеются науч. ассоциации, поддерживающие исследования по М. с. и её применениям. Важную роль играет Международный статистический институт (ISI) с центром в Амстердаме и созданная при нём Международная ассоциация по статистич. методам в естеств. науках (IASPS).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Ван-дер-ВарденБ. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, Зизд., М., 1969; Большее Л.Н., СмирновН. В., Таблицы математической статистики, М., 1968; Л и н н и к Ю.В., Метод наименьших квадратов . . ., 2 изд., М., 1962; X а л ь д А., Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963; К е н-д а л л М. Д ж., С т ь ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966. А. Н. Колмогоров, Ю. В. Прохоров.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, теория математических моделей физич. явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.

М. ф. тесно связана с физикой в той части, к-рая касается построения математич. модели, и в то же время - раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются те математич. методы, к-рые применяются для построения и изучения математич. моделей, описывающих большие классы физич. явлений. Методы М. ф. как теории математич. моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классич. механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов М. ф. и их успешное применение к изучению математич. моделей огромного круга различных физич. явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского и мн. др. учёных. Большой вклад в развитие методов М. ф. внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. Начиная со 2-й пол. 19 в. методы М. ф. успешно применялись для изучения математич. моделей физич. явлений, связанных с различными физич. полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде др. направлений исследования физич. явлений в сплошных средах. Математич. модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференц. ур-ний с частными производными, получивших назв. уравнений математической физики.Помимо дифференц. ур-ний М. ф., при описании математич. моделей физики применение находят интегральные ур-ния и интегро-дифференц. ур-ния, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд др. разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования математич. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, и в первую очередь конечно-разностные методы решения краевых задач. Теоретич. исследования в области квантовой электродинамики, аксиоматич. теории поля и ряде др. направлений совр. физики привели к созданию нового класса математич. моделей, составивших важную отрасль М. ф. (напр., теория обобщённых функций, теория операторов с непрерывным спектром).

Постановка задач М ф. заключается в построении математич. моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физич. явлений. Такая постановка состоит в выводе ур-ний (дифференциальных, интегральных, ин-тегро-дифференциальных или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физич. процесс. При этом исходят из основных физич. законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физич. природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математич. модели. Напр., математич. задачи для простейшего ур-ния гиперболического типа

полученного первоначально (Ж. Д'Аламбер, 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и др. областей физики. Аналогично, уравнение

краевые задачи для к-рого первоначально изучались П. Лапласом (кон. 18 в.) в связи с построением теории тяготения (см. Лапласа уравнение), в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математич. модели физики соответствует целый класс физич. процессов.

Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физич. задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математич. обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф., как Ритца и Галёркина методы, к методам теории возмущений, преобразований Фурье и мн. др., включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математич. обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математич. направлений.

Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечёт за собой переориентацию направленности исследований в нек-рых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф., связанная с разработкой математич. моделей реальных физич. явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференц. ур-ний с частными производными. Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференц. ур-ния с частными производными с интегральными ур-ниями и вариационными методами.

Изучение математич. моделей физики математич. методами не только позволяет получить количеств, характеристики физич. явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физич. явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физич. явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математич. моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитич. методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математич. модели реальных физич. процессов являются, как правило, нелинейными, т. е. описываются нелинейными ур-ниями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене ур-ний М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраич. ур-ниями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физич. эксперимент значительно более экономичным математич. (численным) экспериментом. Достаточно полно проведённый математич. численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физич. эксперимента, выбора параметров сложных физич. установок, определения условий проявления новых физич. эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математич. моделей физич. явлений.

Математич. модель физич. явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретич. исследований принятой модели с данными экспериментов.

Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физич. проявлений.

Для М. ф. характерно стремление строить такие математич. модели, к-рые не только дают описание и объяснение уже установленных физич. закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности. Классич. примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., (Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; К у Р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, М., 1958. А,Н.Тихонов, А.А.Самарский, А.Г.Свешников.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА, одно из направлений в бурж. политич. экономии. Возникла во 2-й пол. 19 в. Основатель М. ш.- Л. Вальрас, видные представители - В. Парето, У. Джевонс, Ф. Эджуорт, И. Фишер, Г. Кассель, К. Викселлъ. Из предшественников М. ш. наиболее известны А. Курно и Г. Госсен. Подход М. ш. к осн. проблемам политич. экономии, как правило, мало отличается от концепций, господствовавших в бурж. экономич. мысли 2-й пол. 19 в. и 1-й трети 20 в.

Специфич. особенность теоретич. построений М. ш.- ориентация на маржи-нализм. Активное использование предельных категорий (предельная полезность, предельная эффективность, предельная производительность), принципа убывания полезности и принципа редкости роднит М. ш. с австрийской школой.

Однако место М. ш. в истории экономич. науки определено тем, что она придаёт решающее значение математике как методу изучения экономич. явлений. Именно этот принцип объединил порой сильно отличавшихся по своим экономич. взглядам учёных в рамках М. ш.

Для М. ш. ценность математич. моделей экономич. явлений состоит не столько в том, что они позволяют лаконичным образом описывать эти явления, сколько в том, что с их помощью можно получить из высказанных предпосылок выводы, к-рые иным путём не могут быть получены. Представители М. ш., и особенно Вальрас, видели в математике метод для исследования как частных, так и глобальных нар.-хоз. явлений. Типичной является модель равновесия нар. х-ва Вальраса. В отличие от модели нар. х-ва послекейнсианского периода, эта модель основывается не на макроэкономич. показателях типа нац. дохода, численности занятых, валовых инвестиций, а на показателях, характеризующих поведение отд. производителей и потребителей (т. н. микроэкономич. подход). Каждый производитель характеризуется функцией предложения, а каждый потребитель - функцией спроса. В модели с помощью равновесных цен обеспечивается равенство спроса и предложения по каждому товару. Из возникшего равновесия система может быть выведена только с помощью внеш. сил. Осуществлённый Вальрасом, Джевонсом, Парето анализ условий равновесия рыночной экономики оказал большое влияние на бурж. экономистов сер. 20 в., занимавшихся проблемами построения математич. моделей капиталистич. экономики.

Модели Вальраса и др. представителей М. ш. далеки от того, чтобы адекватно описывать даже экономику капитализма периода свободной конкуренции. Они упрощают, а часто и искажают реальные условия функционирования капиталистич. системы х-ва. Достаточно указать на статичность этих моделей, на игнорирование циклич. характера развития капиталистич. экономики, классовой борьбы и т. д. Вместе с тем модели, разработанные М. ш., сыграли и известную положительную роль, стимулируя исследования, приведшие к созданию в 50-е гг. 20 в. межотраслевой модели нар. х-ва на основе метода "выпуск - затраты", а также к получению интересных результатов в области ценообразования в условиях экономич. равновесия (модели Д. Гейла, Дж. К. Эрроу, Г. Дебре и др.).

Возрастание престижа М. ш. в бурж. экономич. науке во 2-й пол. 20 в. в большой степени связано также с тем значением, к-рое приобрели экономико-математич. модели в практике гос.-монополистич. регулирования капиталистич. экономики.

Работы представителей М. ш. всегда привлекали внимание экономистов-марксистов. Глубокий критич. анализ их осуществил ещё в 20-е гг. сов. экономист И. Г. Блюмин. В связи с тем, что с 60-х гг. в сов. экономич. науке резко возрастает сфера использования математич. методов, М. ш. вновь становится объектом интенсивного критич. анализа.

Лит.: Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 1, М., 1962; Шляпентох В. Э., Эконометрика и проблемы экономического роста, М., 1966. В. Э .Шляпентох.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ. Специальные М. ж., являющиеся органами различных науч. учреждений, обществ и объединений, возникли в нач. 19 в. В 70-е гг. 20 в. во всём мире насчитывается более 250 М. ж. Значительно возросший выпуск математич. публикаций сделал необходимым издание реферативных журналов по математике. Расширение математич. образования привело к созданию М. ж., посвящённых педагогич. вопросам и методике преподавания математики (гл. обр. в средних уч. заведениях).

Общие журналы. Отдельные математич. статьи впервые стали печататься в общих журналах. Исторический интерес представляют: "Journal des savants" (P.- Amst.- Lpz., с 1665), в к-ром публиковались работы братьев Бериулли по исчислению бесконечно малых; "Acta eruditorum" (Lpz., 1682-1731), здесь напечатаны многочисл. работы Г. Лейбница по дифференциальному и интегральному исчислению, изложение содержания "Математических начал натуральной философии" И. Ньютона, а также статьи Г. Лопиталя, Бернулли и др. виднейших математиков; "Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae" (П., 1728-51, название неоднократно менялось, подробнее см. Известия Академии наук СССР). В изданиях Петерб. АН были помещены 43 работы Д. Бернулли, 473 работы Л. Эйлера (печатались до 1830), а также работы знаменитых русских математиков (М. В. Остроградского - 60, В. Я. Буняковского - 103, П. Л. Чебышева - 50, Е. И. Золотарёва - 6, А. А. Маркова - 51, А. М. Ляпунова - 20, В. А. Стеклова - 47).

Многочисл. науч. общества и университеты в различных городах России и СССР выпускали и выпускают свои издания: "Известия", "Труды", "Сообщения", "Сборники работ" и т. п., в к-рых имеются также математич. статьи. Среди этих изданий: "Казанский вестник" (1821-33) и его продолжение "Ученые записки Казанского университета" (с 1834), в к-рых впервые опубликованы важнейшие сочинения Н. И. Лобачевского; "Известия Физико-математического общества при Казанском университете" (с 1891), "Ученые записки имп. Московского университета" (1833-36), "Ученые записки Московского университета. Отдел физико-математический" (1880 - 1916), "Ученые записки Московского университета" (с 1933).

Различные общие издания иностр. академий, университетов и науч. обществ также отводят значительное место математич. публикациям.

Ряд общих журналов имеет целью быстрое опубликование коротких предварительных сообщений о достигнутых результатах по математике. Осн. журналы этого типа: "Доклады Академии наук СССР" (с 1922), "Comptes rendus de 1'Academie des sciences" (P., с 1835), "Proceedings of the National Academy of sciences of the United States of America" (Wash., с 1915).

Специализированные математические журналы. Старейшие М. ж., издающиеся и в настоящее время (1974): ^Математический сборник" (с 1866), "Journal fur die reine und angewandte Mathematik" (В., с 1826), "Journal de mathematiques pures et appliquees" (P., с 1836), "Annales scientifiques de 1'Ecole normale superieure" (P., с 1864), "Proceedings of the London Mathematical Society" (L., с 1865), "Mathematische Annalen" (В.-Lpz., с 1869), "Bulletin de la Societe mathematique de France" (P., с 1872), "American Journal of Mathematics" (Bait., с 1878), "Acta mathematica" (Uppsala - Stockh., с 1882), "Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society" (Edin., с 1883), "Annals of mathematics" (Princeton, с 1884), "Rendiconti del Circolo matema-tico di Palermo" (Palermo, с 1884), "Bulletin of the American Mathematical Society" (Lancaster, с 1891).

Специализированные М. ж. более позднего периода: "Известия АН СССР. Серия математическая" (с 1937), "Успехи математических наук" (с 1946), "Украинский математический журнал" (К., с 1949), "Сибирский математический журнал" (Новосиб., с 1960), (Математические заметки" (с 1967), "Transactions of the American Mathematical Society" (Lancaster, с 1900), "Biometrika" (L., с 1901), "Mathematische Zeitschrift" (West-B., с 1918), "Fundamenta mathe-maticae" (Warsz., с 1920), "Journal of the London Mathematical Society" (L., с 1926), "Quarterly Journal of Mathematics" (Oxf., с 1930), "Scripta mathematica" (N. Y., с 1931), "Duke Mathematical Journal" (Durhem, с 1935), "Quarterly of Applied Mathematics" (Providence, с 1943), "Journal of the Mathematical Society of Japan" (Tokyo, с 1948), "Annales de 1'Institut Fourier" (Grenoble, с 1949), "Canadian Journal of Mathematics" (Toronto, с 1949), "Mathematikai lapok" (Bdpst, с 1949), "Mathematische Nachrichten" (В., с 1948), "Studii si cercetari matematice" (Вис., с 1950), "Proceedings of the American Mathematical Society" кои модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., (Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; К у Р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, М., 1958. А,Н.Тихонов, А.А.Самарский, А.Г.Свешников.